Ejercicios aplicados a los números reales

Complemento






Indica cuales de los siguientes números son:naturales, enteros, racionales e irracionales:

a. 4,32525325…..
b. 8
c. 1,23233233323333233333…
d. 1,28288288828888….
e. -3/5
f 15
g. 0
h. 1/2
i. -10/3
j. 4,330300300030000300

¿Como se conforman los números reales?

Para poder hablar de la conformación del conjunto de Números Reales, debemos repasar Conjuntos Numéricos

• Números Naturales: Es el que usamos cotidianamente, cuando vamos a enumerar o a contar objetos se representa con la letra N y se simboliza así:
N = { ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……}
• Números Enteros: Está formado por Números Naturales, el cero y los negativos. Con los enteros se opera de la misma forma que con los naturales excepto por lo que respecta al signo. Entonces, se representa con la letra Z y se simboliza así: Z = Z+ U Z- U {O}

Debemos saber aplicar la Regla de Signos
• Signos iguales se suma y se coloca el mismo signo: Ej. -3-7 = -10 ó 10+20 = 30
• Signos diferentes se resta y se coloca el signo del mayor Ej. 20-3 = 17.
• Si se multiplica o dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo Ej. -10.40 = -400 ó -50 ÷ 10 = -5

Así mismo los enteros se clasifican en:
* Las operaciones que no son cerradas en Z (división, potenciación y radicación) generan resultados en las cuales las cantidades enteras van acompañadas por cifras denominados
* Los decimales se clasifican en 2 grupos: Decimales Finitos: Tienen un número finito de cifras decimales, Ej. 2,5; 3,687; 0,0037. Decimales Infinitos: Los cuales tienen infinitas cifras decimales Ej. 3,23232333….;
5,15789965844422…;
0,16161616161616……
*Dentro de los decimales infinitos encontramos una subdivisión: Periódicas y No Periódicas. Las periódicas son aquellos que su cifra decimal se encuentra repetida en forma periódica Ej. 5,3333… para esta cifra debemos colocar una línea encima sobre la cifra que se repite 5,3 donde 5 es su cantidad entera y 3 es su periodo. Los decimales no periódicos son aquellos que tienen infinitas cifras decimales pero no repetidas Ej. π = 3,14159264…;
√2 = 1,414213562…..;
4
√3 = 1,316074013…..;

Debemos saber aún más……

Dentro del conjunto de números decimales encontramos algunas que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Estos números reciben el nombre de Números Racionales (Q)
Los números que no tienen estructura racional se denominan Números Irracionales (I)

Es necesario para aclarar dar los siguientes ejemplos:

Racionales: -2; 5; 27; 8; -8/3 : etc
Irracionales: *Raíces inexactas Ej: √21
*La constante π = 3,141592….
*El número e (euler) = 23,140692…

¿Sabias que?
• Tanto los racionales como los irracionales son conjuntos infinitos.
• Dentro de la recta numérica no existe un orden específico en la ubicación de racionales e irracionales, esto significa que, no siempre después de cada irracional encontramos un racional y viceversa
• La unión del conjunto de números racionales con los números irracionales determina el Conjunto de los Números Reales.

Caracteristicas de los numeros reales

• La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R=QUI


• El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , N, Z y Q es un conjunto totalmente ordenado.


• Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.


• Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q e I son heredadas por R.
  Como ya se ha visto, Q es denso en R . También es denso en R.


• Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
  A diferencia de lo visto para , N,Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable

R* = R – {0}
Reales positivos R+
Reales negativos R-
Q* = Q - {0}
Racionales positivos:Q+
Racionales Negativos:Q-

Además podemos agregar las siguientes caracteristicas de conjuntos de los números reales

a) N∩Z- = ø El conjunto de los números naturales no tiene elementos en común con el subconjunto de los enteros negativos, por lo tanto, su intersección es conjunto vacío.

b) Q- UQ+ = Q* Al unir los subconjuntos Q- y Q+ Se obtiene todos los Q- y Q+ sin el cero es decir, Q*

c) I∩R- = I- Al intersectar los irracionales con los reales negativos, los elementos comunes a ambos son los irracionales negativos.

d) NUI = NUI Como el conjunto N no tiene elementos en común con el conjunto I, su unión no corresponde a ningún conjunto o subconjunto notable y por ello el resultado se expresa de esa forma.

e) R* U {0} = R El conjunto de los números reales sin el cero se denota así: R*, por lo tanto al unirlo con el cero se obtiene todo el conjunto R